2066. 七十和十七

★★★   输入文件：xvii.in   输出文件：xvii.out   简单对比

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【题目描述】

 

七十君最近爱上了排序算法，于是Ta让十七君给Ta讲冒泡排序。

十七君给七十君讲完了冒泡排序以后，七十君回家苦思冥想，又创造了一种名

为七十排序的算法。下面是这个算法排序一个排列的过程：

首先从左到右扫描每个相邻数对。如果这两个数是逆序的，则将第二个数(也

就是小的数)放在整个排列的开头，其他数位置不变，并把计数器加一。如果

没有逆序的相邻数对了，就说明已经排好序了，算法终止。

七十君认为计数器的值反映了这个算法的运行时间。但十七君觉得七十君发明

的这个算法会很慢，所以他请你帮忙算算，对于所有长度为n的排列P，

\[E(n)=\frac{\sum f(P)}{n!}\]

的值，这里f(P)表示排列P运行算法结束时计数器的值。

 

 

【输入格式】

一行一个整数n。

【输出格式】

 

如果E(n)=a/b，求c使得

   bc 三 a  (mod 10^9+7)

并输出，其中0≤c<10^9+7，如果e不存在输出-1。

 

 

【样例输入】

4

【样例输出】

250000005

【提示】

 

对于排列4 1 3 2，算法结束时计数器的值为5。

4 1 3 2，4和1形成逆序，将1放到排列最前方。

1 4 3 2，4和3形成逆序，将3放到排列最前方。

3 1 4 2，3和1形成逆序，将1放到排列最前方。

1 3 4 2，4和2形成逆序，将2放到排列最前方。

2 1 3 4，2和1形成逆序，将1放到排列最前方。

1 2 3 4，现在排列已经排序完毕。

E(4)=3.25。

 

 数据范围与约定

对于20％的数据，n≤8。

对于40％的数据，n≤30。

对于60％的数据，n≤200。

对于1OO％的数据，n≤10^5。

 

 题解

首先我们可以发现, 将 $n$ 个数排序的过程可以转化为按方案排序 $n-1$ 个数后将最后一个数按方案再排进去. 对于长度为 $n$ 的全排列, 若第 $n$ 个数 $a_n=n$ , 则不会引起计数器变动(因为它在前 $n-1$ 个排好序后就已经在最后了), 否则会引起计数器增加 $2^{a_n-1}$ . 枚举最后加入的数 $a_n$ 即可在 $O(n^2)$ 时间复杂度内解决. 最终表达式为:

\[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}2^{j-1}\]

注意到第二部分求和为等差数列形式, 我们可以通过等差数列求和公式进行计算. 于是上式可以化简为:

\[ans=\sum_{i=1}^n\frac{2^{i-1}-1}{i}\]

参考代码

1 #include 
      
        2 #include 
       
         3 #include 
        
          4 #include 
         
           5 #include 
          
            6  7 const int MOD=1e9+7; 8  9 int Pow(int,int,int);10 11 int main(){12     int n;13     scanf("%d",&n);14     int ans=0;15     for(int i=1;i<=n;i++){16         ans=(ans+1ll*(Pow(2,i-1,MOD)-1+MOD)%MOD*Pow(i,MOD-2,MOD)%MOD)%MOD;17     }18     printf("%d\n",ans);19     return 0;20 }21 22 int Pow(int a,int n,int p){23     int ans=1;24     while(n>0){25         if((n&1)!=0){26             ans=1ll*ans*a%p;27         }28         a=1ll*a*a%p;29         n>>=1;30     }31     return ans;32 }